Hofstadter, Godel e la causalità verso il basso dei pattern complessi

Continuando la sintesi degli "strange loop" dell'Io di Douglas Hofstadter ci rimane da affrontare due aspetti cruciali, ossia come egli spiega la causalità degli eventi mentali e la metafora della mente attraverso i teoremi di Kurt Godel.

Inizio con la causalità e lo faccio attraverso una metafora di Hofstadter, che è quella del catenio delle tessere di domino. Come sempre facciamo parlare il nostro:
"L'idea di fondo è semplicemente che possiamo immaginare una struttura reticolare di catene di domino perfettamente sincronizzate che equivalga ad un programma informatico per eseguire un particolare calcolo, come per esempio determinare se un certo input sia o no un numero primo (...) Immaginiamo di poter dare uno specifico 'input' numerico al catenio prendendo un qualsiasi numero intero positivo che ci interessi - 641, poniamo - e collocando quella esatta quantità di tessere da un capo all'altro di un segmento 'riservato' alla struttura reticolare. Quando facciamo cadere la prima tessera del catenio, si verificherà una serie di eventi come nelle macchine di Rube Goldberg, in cui una tessera dopo l'altra si ribalterà, incluse, poco tempo dopo l'inizio, tutte e 641 le tessere che costituiscono il nostro 'segmento dell'input', e come conseguenza verranno fatti scattare vari altri loop, con qualcuno di essi che presumibilmente esaminerà il numero in input per vedere se è divisibile per 2, qualche altro se lo è per 3, e così via. Nel caso venga trovato un divisore, verrà inviato un segnale lungo un particolare segmento di tessere - chiamiamolo 'segmento del divisore' - e, se vedremo quel segmento cadere, sapremo che il numero in ingresso ha un qualche divisore e quindi non è primo. Per contro, se il numero in ingresso non ha divisori, allora il segmento del divisore non verrà mai attivato e noi sapremo che il numero in ingresso è primo".
Immaginiamo adesso di essere degli osservatori che non sappiano quale sia il programma che "gira" sul catenio reticolare e possano solo constatare che la tessera con il numero 641 resta in piedi.
Come mai resta in pedi?
Qualcuno potrebbe dare una spiegazione locale (e anche "banale") dicendo che il 641 non cade perché non cade la tessera precedente, ma qualcun altro potrebbe invece dare una spiegazione astratta intuendo che il 641 non cade perché è un numero primo.
Questo è un punto cruciale della metafora di Hofstadter e presuppone che il secondo tipo di osservatore si distanzi da una osservazione strettamente "micro" e "locale" per passare ad una osservazione "globale" e "macro" del catenio e soprattutto fornendone una spiegazione astratta basata sul concetto di numero primo.
Il fatto che il 641 non cade (evento fisico) perché è un numero primo (proprietà astratta) se ci pensiamo è davvero un fatto notevole in quanto ci fa concludere che c'è una relazione che possiamo definire di causalità fra due livelli diversi (affronteremo in futuro più in dettaglio il concetto di causa), in particolare un livello astratto determina l'accadimento di un evento fisico.
Come si è già detto, adottando un approccio emergentista si passa ad osservare e quindi cercare di spiegare un fenomeno complesso ad un livello "macro" e quindi di tipo globale e organizzativo.
Il fatto, lo ripeto, interessante della metafora del catenio è che il livello di tipo organizzativo superiore è anche un livello astratto in quanto è basato sul "concetto matematico di numero primo" che non è "qualcosa di fisico", ed apre immediatamente l'analogia con i neuroni (le "simm" che abbiamo visto nel post precedente) e i gruppi neuronali (i "simmbili"), ma anche tra livello neurobiologico e livello linguistico.
In sintesi, dunque, nel cervello ci sarebbero molteplici livelli di organizzazione di tipo gerarchico ed emergente in cui un livello superiore è in grado di interagire causalmente sul livello inferiore funzionando però con un codice diverso ed irriducibile rispetto a quello del livello inferiore.
In tale quadro, Hofstadter dice: "Vorrei sottolineare che qui non c'è alcuna forza fisica 'extra'; le leggi locali, miopi, della fisica, fanno tutto quanto da sole, ma è la disposizione globale delle tessere del domino ciò che determina gli eventi e se si osserva (e si capisce) quella disposizione, allora ci viene servita su un piatto d'argento una scorciatoia illuminante alla risposta delle tessere che non cadono nel segmento del divisore (così come alla risposta delle tessere che cadono nel segmento del numero primo (...) In breve, considerare la primalità di 641 come una causa fisica del nostro domino-catenio è analogo a considerare la temperatura di un gas come una causa fisica (per esempio, del livello di pressione che il gas esercita contro le pareti del suo contenitore)".
Il livello organizzativo superiore, in sintesi, non solo funziona con un codice diverso che ha un significato ed una semantica astratta, ma interagisce con quello inferiore influenzandone gli stati  fisici e questo avviene nel pieno rispetto delle leggi fisiche.

Kurt Godel

Passiamo adesso allo strano anello godeliano e alla sua stringente analogia con gli anelli nell'Io.
Tutto inizia, per così dire, con Bertrand Russell ed i suoi Principia Mathematica con i quali il grande matematico e logico pensò di aver dato alla luce un sistema logico-matematico consistente e completo nel quale, utilizzando le parole di Hofstadter, "la speranza è che tutti i teoremi di PM (Hofstadter abbrevia così l'insieme di regole e di manipolazione di simboli su cui si basano i Principia Mathematica, nda) generati in maniera meccanica siano enunciati veri della teoria dei numeri (ovvero che non venga mai generato un enunciato falso) e viceversa, che tutti gli enunciati veri della teoria dei numeri siano generati in maniera meccanica in quanto teoremi di PM. La prima di queste speranze è detta consistenza, la seconda completezza".
In sostanza Russell credette di aver trovato un sistema "chiuso" dal quale si potesse generare qualsiasi enunciato logico e matematico e si potesse quindi dimostrare con le sue regole. Quello che, invece, dimostrò Kurt Godel fu proprio che il sistema PM aveva dei "buchi", anzi infiniti buchi, che non erano dimostrabili all'interno dei PM stessi. Senza entrare nei dettagli, si può immaginare che Godel "trovò un sistema per associare ad una qualunque formula di PM un numero equivalente", che è detto numero di Godel, e quindi ideò un codice per "aritmetizzare" i PM.
Fatto questo, Godel poi passò a definire delle formule all'interno di questo nuovo codice che risultarono non dimostrabili con le regole di PM.
Come dice Hofstadter "Il giovane Kurt Godel - nel 1931 aveva solo 25 anni - aveva scoperto un vasto mare di formule assolutamente insospettate e bizzarramente contorte nascoste all'interno del mondo austero, formale, protetto della teoria dei tipi e pertanto apparentemente immune da paradossi, definito da Russell e Whitehead nel loro grandioso opus in tre volumi Principia Mathematica, e d'allora in poi le numerose proprietà controintuitive dell'originaria formula di Godel e dei suoi innumerevoli cugini hanno impegnato matematici, logici e filosofi."
Hofstadter chiama i teoremi di Godel strani anelli quintessenziali proprio in virtù del fatto che essi emergono dal sistema PM ma poi finiscono per dimostrarne l'incompletezza, cosa che è riassumibile nella proposizione "Io non sono dimostrabile in PM".
In tale processo, Hofstadter individua una profonda analogia con quell'anello particolare che è il nostro sé cosciente, che come abbiamo detto si genera per loop ricorsivi fino all'emergere di un loop auto-osservativo ed autoreferenziale, che è anche un "modo" per bloccare un potenziale regresso all'infinito.
Proprio del regresso all'infinito e del suo rapporto con la logica e l'antropologia tratterò nel prossimo post.