L'infinito tra metafisica e scienza (2ª Parte)

Dopo una pausa mediamente lunga (a volte servono), continuo il discorso sull'infinito, che nel frattempo mi sono reso ulteriormente conto, se non lo avessi saputo già, essere molto vasto e che quindi, riflettendoci un pò su, ho deciso di esemplificare attraverso la comparazione fra l'infinito matematico dei numeri transfiniti di Georg Cantor e l'infinito filosofico a mio parere ben rappresentato dal pensiero di Gilles Deleuze per il quale mi riferirò soprattutto al suo "Che cos'è filosofia?" (1991, 1996 trad. it.) scritto assieme a Felix Guattari e alla "Logica del senso" (1969, 1975 trad. it.).

Foto: Floriana Barbu

Infine, nel prossimo post - quello conclusivo - affronterò brevemente una interpretazione dell'infinito elaborata da George Lakoff nel suo "Da dove viene la matematica. Come la mente embodied da' origine alla matematica" (2000, 2005 trad it.), scritto assieme a R.E. Nunez, nel quale il linguista cognitivo tenta una spiegazione dell'origine dei concetti matematici attraverso la sua teoria delle metafore neurali.
Tale interpretazione ha portato a diverse critiche soprattutto da parte di filosofi della matematica come Gabriele Lolli, che ha visto nel libro di Lakoff una forzatura di impronta eccessivamente "riduzionista" imputando a Lakoff  una vena di "arroganza epistemica" (prospettiva critica a mio avviso eccessivamente dura e che sminuisce invece delle intuizioni interessanti, ma lo vedremo nel prossimo post).
Per la trattazione dei numeri transfiniti mi avvarrò di 2 testi divulgativi che sono alquanto "metabolizzabili" anche da un lettore di media cultura matematica e, in particolare, "Di tutto di più. Storia compatta dell'infinito" (2003, 2005 trad. it.) di David Foster Wallace (più noto come scrittore) e "L'infinito" (2005) di John D. Barrow.
Seguirò, in particolare, l'idea di Gilles Deleuze sulla differenza essenziale fra pensiero scientifico e pensiero filosofico, laddove il primo si basa sulla costruzione di funzioni mentre il secondo sulla costruzione di concetti.
Le due modalità del pensiero (una terza è l'arte e poi una quarta è la logica), ossia scienza e filosofia,    si muovono secondo il filosofo francese su due piani di immanenza diversi, che possono incontrarsi e anche "ibridarsi", ma che restano sostanzialmente differenti.
Le funzioni elaborate dal pensiero scientifico "si presentano come proposizioni in sistemi discorsivi. Gli elementi delle funzioni si chiamano funtivi" (Deleuze, 1996 cit.) e, aggiungo io, sono caratterizzate dal fatto che devono essere formalizzabili e calcolabili attraverso l'uso del numero.
Le funzioni, come sappiamo, correlano fra loro variabili e domini numerici dando come esito numeri o altre funzioni.
Il concetto, invece, secondo Deleuze non ha né può avere nulla di scientifico (al massimo si può ispirare alla scienza, concettualizzando le funzioni) ed è costruito dal filosofo-pensatore come ritaglio del caos su un piano di immanenza che egli stesso instaura o che è stato instaurato da altri pensatori e che lui "affina" (es. neo-platonici, neo-kantiani, post-fenomenologi, ecc.), diventando così un evento "incorporeo" di superficie e apportatore di senso.

Foto: Allegory of cognition, Dina Bova

Dice infatti Deleuze:
"Il concetto dice l'evento, non l'essenza o la cosa. E' un Evento puro, un' ecceità, un'entità (...) Il concetto si definisce tramite l'inseparabilità di un numero finito di componenti eterogenee percorse da un punto in sorvolo assoluto, a velocità infinita. I concetti sono superfici o volumi assoluti, forme che hanno come solo oggetto l'inseparabilità delle variazioni distinte. Il sorvolo è lo stato del concetto o la sua propria infinità, quantunque gli infiniti siano più o meno grandi a seconda della cifra delle componenti, delle soglie e dei ponti. E proprio in quanto il pensiero opera a velocità infinita (anche se più o meno elevata) il concetto è un atto di pensiero. Il concetto è dunque al tempo stesso assoluto e relativo (...)" (1996 Deleuze cit.)

e ancora:

"La relatività e l'assolutezza del concetto sono come la sua pedagogia e la sua ontologia, la sua creazione e la sua autoposizione, la sua idealità e la sua realtà. Reale senza essere attuale, ideale senza essere astratto... Il concetto si definisce attraverso la sua consistenza, endo-consistenza ed eso-consistenza, non ha una referenza: è autoreferenziale, pone se stesso e il suo oggetto nel momento stesso in cui è creato. Il costruttivismo unisce il relativo e l'assoluto. 
Per finire, il concetto non è discorsivo e la filosofia non è una formazione discorsiva, perché essa non concatena proposizioni. E' la confusione del concetto (prodotto dalla filosofia, nda) e della proposizione (prodotto della logica, nda) che fa credere all'esistenza di concetti scientifici e che porta a considerare la proposizione come una vera intensione (ciò che la frase esprime); allora il concetto filosofico appare spesso come una semplice proposizione priva di senso. 
Questa confusione regna nella logica e spiega l'idea puerile che essa si fa della filosofia" (1996, cit.).

Gilles Deleuze

Occorre precisare che per Deleuze il piano di immanenza è una intuizione attraverso la quale esso viene instaurato o "proseguito" originalmente - nel senso predetto - dal filosofo (il piano di immanenza viene costruito anche dall'artista con i "percetti" e gli "affetti" e dallo scienziato con i "funtivi" e i "prospetti", che sono però differenti dal concetto filosofico), mentre i concetti filosofici sono delle "pure intensioni", ossia dei significati senza referenza nello "stato di cose" (di cui si occupa la scienza con le sue proposizioni logiche - i prospetti - e matematiche, i funtivi), ma si incorporano e si effettuano negli stati di cose ritagliando l'evento, che per sua natura è "incorporeo" (qui per incorporeità non dobbiamo intendere una sorta di natura metafisica extra-sensoriale, ma la natura dinamica di superficie dell'evento, che è pur sempre "materiale"), ma dotato di senso.

Cerchiamo di definire ancora un pò meglio il piano di immanenza, in modo da non lasciare eccessive perplessità o incomprensioni.

Il piano di immanenza è un taglio nel caos ed è la risposta che un filosofo, uno scienziato, un'artista - in modi diversi - tentano di fornire alla domanda "Che cosa significa pensare?".
Deleuze, in relazione al piano d'immanenza filosofico ed ai concetti di cui è popolato, dice con una immagine molto esemplificativa che:

"I concetti sono come le onde multiple che si alzano e si abbassano; ma il piano di immanenza è l'onda unica che li avvolge e li svolge. Il piano avvolge i movimenti infiniti ricorrenti che lo percorrono, mentre i concetti sono le velocità infinite di movimenti finiti che ogni volta percorrono soltanto le proprie componenti. Da Epicuro a Spinoza, da Spinoza a Michaux, il problema del pensiero è la velocità infinita che ha però bisogno di un ambito che sia in sé infinitamente in movimento, il piano, il vuoto, l'orizzonte (...) I concetti sono l'arcipelago, l'ossatura, una colonna vertebrale, piuttosto che un cranio, mentre il piano è la respirazione che bagna queste isole.
I concetti sono superfici o volumi assoluti, difformi e frammentari, mentre il piano è l'assoluto illimitato (mi viene in mente una analogia, diciamo una suggestione dell'immaginazione, con l'àpeiron di Anassimandro) informe, né superficie né volume, ma sempre frattale". (1996, cit.)

Il piano di immanenza è, inoltre, l'immagine del pensiero, "l'immagine che esso si da' di cosa significhi pensare, usare il pensiero, orientarsi nel pensiero... Non è un metodo (...) Non è neanche un insieme di conoscenze sul cervello ed il suo funzionamento (...) Non si tratta neanche dell'opinione che si ha del pensiero, delle sue forme, dei suoi scopi e dei suoi mezzi in questo o quel momento. L'immagine del pensiero implica una severa ripartizione di fatto e di diritto". (1996, cit.)

Dunque, il piano di immanenza, l'immagine del pensiero, inerisce "soltanto ciò che il pensiero può rivendicare di diritto. Il pensiero rivendica il movimento che può andare all'infinito. Ciò che il pensiero rivendica di diritto, ciò che seleziona, è il movimento infinito o il movimento dell'infinito, che costituisce l'immagine del pensiero. Il movimento dell'infinito non rinvia a coordinate spazio-temporali che definirebbero le posizioni successive di un mobile e i riferimenti fissi delle loro variazioni. Orientarsi nel pensiero non implica né un riferimento obiettivo né un mobile che, concepitosi come soggetto, vorrebbe l'infinito e ne avrebbe bisogno. Il movimento ha preso tutto e non c'è posto per un soggetto ed un oggetto che possono essere solo dei concetti. In movimento è l'orizzonte stesso: l'orizzonte relativo si allontana quando il soggetto avanza, ma per quanto riguarda l'orizzonte assoluto, piano di immanenza, noi ci siamo già da sempre" (cit.)

Foto: Oldman, di Darius Klimczak

Ritengo che a questo punto cominci a delinearsi il punto al quale volevo arrivare attraverso il pensiero di Deleuze, ossia che il pensiero - nella sua modalità filosofica - rivendica l'infinito, ossia potremmo dire che è nell'essenza del pensiero orientarsi in un movimento infinito e di selezionare un movimento dell'infinito (ricordo qui anche i miei post sul regresso all'infinito e sulla necessità di arrestarlo, tratti dal libro di Paolo Virno "E così via all'infinito" , 2010).

La genialità di Deleuze nel concettualizzare l'infinito filosofico rispetto a quello matematico e scientifico si esplicita quando dice che:

"Il problema della filosofia è di acquisire una consistenza, senza perdere l'infinito in cui il pensiero è immerso (il caos che da questo punto di vista ha un'esistenza tanto mentale quanto fisica), è un problema molto diverso da quello della scienza che cerca di dare delle referenze al caos, a patto di rinunciare ai movimenti e alle velocità infinite e di operare prima di tutto una limitazione di velocità: ciò che è primario nelle scienze è la luce o l'orizzonte relativo. La filosofia invece procede presupponendo o instaurando un piano di immanenza: le sue curvature variabili conservano i movimenti infiniti che ritornano su sé stessi in uno scambio ininterrotto, ma senza cessare di liberarne altri che si conservano. Ai concetti resta così il compito di tracciare le ordinate intensive di questi movimenti infiniti, come se si trattasse di movimenti finiti che formano a velocità infinita dei contorni variabili inscritti sul piano. Operando un taglio nel caos il piano di immanenza fa appello ad una creazione di concetti". ( cit. )

La scienza, dunque, a differenza della filosofia tenta di creare un "fermo immagine" in modo da arrestare il movimento infinito del pensiero e di rappresentarlo attraverso le sue proposizioni logiche e le sue funzioni di calcolo con lo scopo di dare una referenza agli "stati di cose" che osserva e che contribuisce così a "creare".

Per fare un esempio recentissimo, io spiegherei così l'entusiasmo che ha provocato l'esperimento italiano sui neutrini che sembrerebbe aver dato la possibilità del superamento del limite della velocità della luce: il fermo immagine, improvvisamente, dava segni di nuova apertura verso il movimento infinito del pensiero, ovviamente con tanto di scetticismo da parte dell'establishment scientifico del tutto motivato e parte essenziale del metodo scientifico stesso.
Eppure l'entusiasmo è stato enorme, anche eccessivo e "pimpato" (per dirla con un neologismo preso dal verbo "to pimp" che ad esempio descrive l'elaborazione delle automobili fatta soprattuto negli Usa) dai media e dall'ormai onnipresente "Supermarket di Prometeo".

Il superamento della velocità della luce sarebbe in tal senso il superamento del limite fisico per eccellenza, cioè quello che da quando Albert Einstein ha elaborato la teoria della relatività ci"blocca", ci "confina" per così dire in uno spaziotempo relativo e nel quale siamo incommensurabilmente "lenti" e "piccoli" rispetto alle dimensioni del cosmo.
Che poi forse non sapremmo che farcene nell'immediato del fatto che i neutrini siano iper-luminali è tutta un'altra questione, ma ciò che importa è l'apertura verso l'infinito, l'immagine che improvvisamente può dilatarsi che porta ad un inevitabile entusiasmo.

Georg Cantor

Arriviamo adesso a Georg Cantor ed ai suoi "famosi" numeri transfiniti, che pongono il più ampio problema dell'infinito matematico per così dire diviso fra l'infinito potenziale aristotelico e quello attuale, cioè in sé e per sé.

Un esempio di infinito potenziale è quello classico dei numeri interi (positivi e negativi, del tipo ...., -n, ...-1, 0, 1, 2, ..., n, n+1,  ....) per i quali preso qualsiasi numero positivo n possiamo aggiungere ad esso una unità e ottenere il suo successivo n+1 (per i negativi è lo stesso aggiungendo -1).
Il problema è che però non "esistono" solo i numeri interi (meglio dire che sono costruibili oltre ai numeri interi anche altri insiemi numerici), anzi la teoria dei numeri parte da loro per arrivare a costruire enti matematici che possiamo considerare in prima battuta "sempre più infiniti" fino a "perderci" nella infinita infinità dei numeri transfiniti di Cantor.

Ma andiamo con calma.

Innanzitutto, occorre considerare che per parlare di numeri transfiniti bisogna conoscere il concetto di insieme e il fatto che un insieme può essere finito o infinito: un insieme finito, banalmente, è quello costituito da un numero finito di elementi, che per semplicità consideriamo numeri, come ad esempio {0,1,2,3} è un insieme finito composto da 4 elementi, mentre un insieme infinito è composto da infiniti elementi ed in prima battuta possiamo considerare quello dei numeri interi, ossia {-n, ...0, 1,2,...n, n+1, ....}.

Il problema con gli insiemi infiniti sorge a partire dai numeri razionali del tipo {-1/n, ...0, 1/2, 1/3, ...1/n, ...}, poi con i numeri reali come √2 (radice di 2) o π (pi greco) e quelli complessi (del tipo a+ ib dove l'unità immaginaria i è quella tale che i al quadrato è uguale a -1) e rispondere alla domanda se, come sembrerebbe intuitivamente, l'infinito dei numeri reali è in qualche modo "maggiore" di quello dei numeri razionali e di quello dei numeri interi.

La genialità di Georg Cantor fu in primis quella di saper dimostrare che l'insieme dei numeri razionali può essere messo in corrispondenza "uno a uno" (biunivoca) con quella dei numeri interi al quale egli diede il nome di insieme numerabile e simboleggiò con la lettera ebraica aleph e il pedice 0, cioè aleph-zero אo. Dunque, nonostante una intuizione in senso diverso, numeri interi e razionali hanno la stessa "infinità" (che tecnicamente si chiama cardinalità) che viene detta numerabile.

Ma non finisce qui: successivamente Cantor introdusse il concetto di insieme delle parti P(S) o insieme potenza , attraverso il quale riuscì a dimostrare "che la gerarchia ascendente degli infiniti non ha fine"  (Barrow, 2005).
In sintesi, come dice John D. Barrow :

"Se si ha un qualsiasi insieme infinito, si può generarne un altro infinitamente maggiore considerando l'insieme che contiene tutti i suoi sottoinsiemi e che è detto insieme potenza del primo."

La dimostrazione di Cantor si avvale della cosiddetta induzione matematica, cosa che gli comportò le critiche del suo mentore e professore Leopold Kronecker, il quale non considerava corretta questa procedura in quanto dava la possibilità di esistenza ad una infinità incontrollata di entità matematiche, ma non consentiva una loro costruzione "perfetta" di tipo assiomatico-deduttiva.
Ne nacque anche una ostilità fra i due (Cantor era un "platonico" mentre Kronecker un costruzionista), che potrebbe essere anche stata all'origine della depressione e poi della follia in cui cadde Cantor successivamente.

Fonte: Mario Esposito, elaborazione personale

L'insieme potenza P(S) ha la particolarità di essere del tipo 2 exp S (2 alla S), cioè se un insieme S ha N elementi il suo insieme delle parti è del tipo 2 exp N (cioè 2X2 .... X2, N volte); in particolare, partendo dall'insieme aleph-zero אo (che abbiamo visto essere quello numerabile e che possiamo mettere in corrispondenza "uno a uno" con i numeri interi) si può considerare il suo insieme delle parti P(אo), che si dimostra avere una cardinalità maggiore di אo, poi si può costruire l'insieme P[P(אo)] e così via all'infinito generando algoritmicamente ed in successione una infinità di infiniti crescenti e di numero cardinale maggiore del precedente che lo ha generato.

I numeri אo, .., אi, ....,  אn, ... sono detti numeri transfiniti e hanno una cardinalità (intuitivamente una densità dell'infinito) tendente all'infinito, cioè non ci sono per essi limiti alla "grandezza dell'infinito" e soprattutto ogni infinito successivo è "più grande" del precedente e ad esso incommensurabile.

La "storia" dei numeri transfiniti però non finisce qui.

Cantor avrebbe voluto dimostrare che l'insieme dei numeri reali R è uguale ad aleph-uno, cioè che esso è 2 exp אo e che, pertanto, la retta dei numeri reali è continua e ogni suo punto è un numero reale (corrispondenza uno ad uno tra punti della retta e numeri reali).
Purtroppo non vi riuscì (qualcuno dice che questo contribuì a portarlo alla follia) e fino ad oggi nessuno ci è riuscito tanto che l'ipotesi del continuo continua ad essere tale, cioè si suppone (o postula) che R=2 exp אo, ma non ne esiste alcuna dimostrazione.

La questione dell'ipotesi del continuo è singolare in quanto ad esempio come scrive David Foster Wallace:

"Ma sono i platonici matematici (a volte chiamati realisti, cantoriani e/o transfinitisti) ad essere sconvolti dall' indecidibilità dell'ipotesi della continuità, il che è interessante se si considera che i due platonici moderni più famosi sono Georg Cantor e Kurt Goedel, che insieme sono responsabili per almeno due terzi di tutto questo sconcerto.
La posizione platonica viene riassunta bene da Goedel in un commento alle dimostrazioni sua e di Cohen dell'indipendenza della ipotesi della continuità: 

' Solo chi (come gli intuizionisti) nega che i concetti e gli assiomi della teoria classica degli insiemi abbiano un qualche significato potrebbe essere soddisfatto da una soluzione del genere, non chi ritiene che essi descrivano una qualche realtà ben determinata.

Kurt Goedel

Perché in realtà la congettura di Cantor (l'ipotesi della continuità, nda) deve essere vera o falsa e la sua indecidibilità a partire dagli assiomi oggi noti può significare solo che questi assiomi non contengano una descrizione completa della realtà'.

In altre parole, per un platonico matematico le dimostrazioni dell'ipotesi della continuità dimostrano in realtà che la teoria degli insiemi deve trovare un corpus di assiomi fondamentali migliore del ZFS (Zermelo-Fraenkel-Skolem) o quanto meno che dovrà aggiungere altri postulati che siano - come l'Assioma della scelta - "evidenti in sé"  e Coerenti con gli assiomi classici.

Nel caso vi interessi, personalmente Goedel ritiene che l'ipotesi del continuo sia falsa e che vi sia di fatto un ∞ di ∞ zenoniani annidati fra Aleph-zero e c (l'insieme dei numeri reali) e che prima o poi si troverà un principio che lo dimostri. Goedel e Cantor sono entrambi morti in manicomio, lasciandosi alle spalle un mondo senza una circonferenza finita.
Un mondo che oggi ruota in un nuovo tipo di vuoto, tutto formale. La matematica continua ad alzarsi dal letto." (Wallace, 2005)


Che lezione possiamo trarre da questa breve storia dei numeri transfiniti?

Intanto, che l'infinito matematico è pensato, come direbbe Deleuze, come funzione con i suoi relativi "funtivi": l'esempio dei numeri transfiniti è emblematico con la sua costruzione algoritmica degli insiemi delle parti sempre "più infiniti".
Inoltre, i numeri transfiniti pongono con forza il problema dell'infinito attuale e della sua effettiva "liceità ontologica" fra gli enti della matematica, soprattutto per il fatto che i conti si fanno materialmente con i numeri razionali, soprattutto oggi che si usano i computer e che la stessa fisica pensa sempre di più lo spaziotempo in termini di "discreto" e di "quanti".

Non è questa la sede per entrare in questa discussione, ma è chiaro come emerga subito quel divario fra il pensiero astratto matematico di cui i numeri transfiniti sono un esempio e forse l'Esempio per eccellenza e quello "stato di cose" di cui la fisica e le altre scienze vogliono farsi i garanti attraverso una descrizione funzionale del Referente.

L'Infinito, dunque, sembra essere sia in ambito filosofico, ma anche in ambito scientifico (e artistico, ma non ne abbiamo parlato) il terreno sul quale si gioca l'attività del pensiero, anche se con modalità diverse, in un continuo processo in cui la filosofia tenta nuove aperture di senso nell'ambito del movimento infinito del piano di immanenza e della velocità infinita dei concetti e in cui la scienza procede, invece, per "zoom" e "fermo immagine".

In tale processo (infinito?), la filosofia sarà l'artigianato del senso, mentre la scienza quello della natura.