L'infinito tra metafisica e scienza (4ª Parte)

 La metafora fondamentale che, secondo Lakoff e Nunez, è all'origine della natura embodied del concetto di infinito è la metafora base dell'infinito (BMI, in acronimo), che andrò a delineare in questo post.

Intanto, si potrebbe ipotizzare che il concetto di infinito derivi dalla negazione logica di quello di finito, cioè qualcosa che non è finito e che non ha un confine, ma questa spiegazione non tiene conto della ricchezza di concetti matematici come l'infinito attuale e, ad esempio, il fatto che siano stati ideati numeri come quelli irrazionali (pi greco, il numero di Eulero e, ecc.), i transfiniti o i numeri complessi, quest'ultimi tra l'altro fondamentali per teorie fisiche come la teoria quantistica dei campi, che è ad oggi tra le più avanzate e feconde per la modellizzazione della struttura dello spaziotempo a livello microscopico. Dunque, è importante cercare di capire e di analizzare le idee matematiche che concettualizzano insiemi infiniti, sia nel senso di "infinitamente grandi" che di "infinitamente piccoli", dove sono interessati evidentemente i concetti di limite, di somma infinita o magari di intersezione infinita.

Per LN è intanto cruciale partire da quello che nel post precedente è stato definito come sistema aspettuale, che è il sistema concettuale umano che elabora le azioni, alcune delle quali possono essere a) continue o b) iterative e che sembrerebbe essere legato ai sistemi di controllo motorio secondo gli studi di Srini Narayanan.
In particolare, si è visto che ci sono 2 sistemi aspettuali principali: quello imperfettivo, che concettualizza l'azione come non avente completamento (es. respirare) e quello perfettivo che concettualizza le azioni come aventi un completamento (es. saltare).
I verbi perfettivi, come ad es. saltare, possono essere iterati (es. Mario saltava e saltava e saltava...) e sono, secondo LN, concettualizzati come azioni continue e in termini cognitivi sono caratterizzati dalla metafora I PROCESSI CONTINUI INDEFINITI SONO PROCESSI ITERATIVI.
Tali azioni sono legate al concetto di moto, in particolare a quello di moto ripetuto e "la fusione di un'azione continua con azioni ripetute dà origine alla metafora tramite la quale le azioni continue sono concettualizzate come azioni ripetute" (cit.): questa metafora è alla base del concetto matematico di infinito potenziale.
Molto più interessante è, invece, il concetto di infinito attuale, che è una sorta di "cosa infinita, ma compiuta" e LN ipotizzano che "l'idea di infinito attuale in matematica sia metaforica e che i vari esempi di infinito attuale facciano uso del processo metaforico ultimo di un processo senza fine. Letteralmente, il risultato di un processo senza fine non esiste: se un processo non ha fine non ci può essere alcun 'risultato ultimo'. Tuttavia, il meccanismo della metafora ci permette di concettualizzare il 'risultato' di un processo infinito nell'unico modo in cui possiamo concettualizzare un processo, ossia in termini di un processo che in effetti ha una fine. Noi ipotizziamo che tutti i casi di infinito attuale (gli insiemi infiniti, i punti all'infinito, i limiti di somme infinite, le intersezioni infinite, gli estremi superiori) siano casi particolari di una sola metafora generale, nella quale i processi che continuano indefinitamente sono concettualizzati come aventi una fine ed un risultato ultimo. Chiamiamo questa metafora la Metafora Base dell'Infinito, o BMI per brevità; il suo dominio obiettivo è quello dei processi senza fine, che i linguisti chiamano processi imperfettivi. L'effetto della BMI è quello di aggiungere un completamento metaforico al processo in corso, in modo da considerarlo con un risultato: una cosa infinita".

Fonte: Lakoff-Nunez (2005)

Nello schema a fianco riportato si può notare la struttura della metafora BMI, che è quella di un dominio sorgente fatto da processi iterativi ordinari, ossia con "un numero indefinito (ma finito) di iterazioni, con un completamento ed uno stato risultante" (cit.).

Secondo LN, l'effetto cruciale della metafora BMI - che collega il dominio sorgente a quello obiettivo - è "quello di aggiungere al dominio obiettivo il completamento del processo e il suo stato risultante. Questa aggiunta metaforica viene indicata in grassetto nella formulazione della metafora seguente. E' proprio quest'ultima parte della metafora che ci permette di concettualizzare il processo in corso in termini di processo completato (e quindi anche di produrre il concetto di infinito attuale)". (cit.)

Con questa metafora che, in estrema sintesi, ha la funzione di "chiudere il cerchio" con un risultato finale unico (uno "stato all'infinito"), LN poi spiegheranno i processi di creazione metaforica dei numeri irrazionali, transfiniti, complessi, iper-reali ecc. e le relazioni, apparentemente astratte, come quella di Eulero, vista nel post precedente, cioè .

Secondo LN, sarà un'applicazione multipla della BMI a generare in maniera iterativa i vari concetti ed idee matematiche, combinandosi con quelle che abbiamo chiamato le miscele concettuali.

Un esempio di questo processo iterativo, stavolta non matematico, lo abbiamo nel concetto classico di essere filosofico, che è una categoria "onnicomprensiva" di tutto ciò che è:

Fonte: Lakoff-Nunez (2005)

Anche qui si nota come la metafora alla base del processo iterativo porti da un dominio obiettivo indefinito ad un risultato particolare e unico che è la "categoria generale dell'essere" (parliamo in termini di filosofia classica, escludendo l'essere concettualizzato come "senso").

Un'altro caso interessante della BMI è quello della cd. "chiusura generativa" per le operazioni che "generano insiemi infiniti. Per esempio, supponiamo di iniziare con l'insieme che contiene l'intero 1 e l'operazione di addizione; aggiungendo 1 ad esso al primo stadio, otteniamo 2, che non è l'insieme originario. Ciò significa che l'insieme originario non era 'chiuso' rispetto all'operazione di addizione. Per spingerci verso la chiusura, possiamo allora estendere quell'insieme per includere 2, mentre allo stadio successivo eseguiremo l'operazione binaria di addizione su 1 e 2, e di addizione su 2 e 2, per ottenere i nuovi elementi 3 e 4; estenderemo poi l'insieme precedente includendo 3 e 4, e così via. Questo processo definisce una successione infinita di estensioni di insiemi. Se ora applichiamo la BMI, otteniamo la 'chiusura' rispetto all'addizione, ossia l'insieme di tutte le estensioni risultanti". (cit.)

Eccola in 2 slides:

Fonte: Lakoff-Nunez (2005)

Questa è la seconda parte della slide:

Fonte: Lakoff-Nunez (2005)

Dunque, vediamo come la funzione della BMI sia quella di chiudere un processo iterativo fornendo un risultato finale unico.

Tornando all'esempio della funzione di Eulero  , LN la spiegano, molto in sintesi, facendo riferimento ai concetti di variazione (derivata della velocità, "e è la base di una funzione esponenziale che ha un tasso di variazione esattamente uguale alla funzione stessa", "e^x è la funzione che manda le somme nei prodotti, che manda 2,718281 ... in 1, coincide con la sua derivata e varia esattamente in proporzione a sé stessa"), di periodicità (correlazione con le funzioni trigonometriche di seno e coseno, "LA RICORRENZA E' CIRCOLARITA'"), di rotazione (l'effetto della moltiplicazione per i  nel piano complesso) e dell'uso iterato della BMI abbinata alle miscele concettuali.

In particolare, "l'uguaglianza  è vera solo in virtù di un gran numero di connessioni profonde tra molte branche. E' vera per ciò che significa! E significa ciò che significa a causa di tutte quelle metafore e quelle miscele facenti parte del sistema concettuale di un matematico che comprenda il suo significato. Far vedere perché tale uguaglianza sia vera per motivi concettuali equivale a fornire un'analisi delle idee di uguaglianza, di cui vediamo le condizioni minimali:
LE RICHIESTE PER UN'ANALISI ADEGUATA DELLE IDEE MATEMATICHE DI UN'UGUAGLIANZA, UNA DEFINIZIONE, UN ASSIOMA O UN TEOREMA:

a. la struttura di metafora e di miscela che rende veri un'uguaglianza, una definizione, un'assioma o un teorema in relazione a quella struttura;
b.  le relazioni concettuali tra gli elementi che compaiono in, o sono presupposti da, un'uguaglianza, una definizione, un assioma o un teorema;
c. le idee espresse mediante i simboli in un'uguaglianza, una definizione, un assioma o un teorema;
d. il fondamento dei concetti utilizzati nell'analisi delle idee. 

Un'analisi delle idee dovrebbe chiarire che la 'verità' di un'uguaglianza, una definizione, un assioma o un teorema dipende da ciò che essi significano. Ossia la verità è relativa alla struttura concettuale, che di certo include una vasta rete di metafore e miscele che chiamiamo la rete delle idee. Così  non vale nella geometria euclidea o nell'aritmetica dei numeri reali per un'ovvia ragione: quei domini matematici non hanno la struttura concettuale adatta a dare significato all'uguaglianza e ancor meno a renderla vera" (cit.).

Ne consegue che per LN numeri come e, π , i, 0, 1 sono principalmente dei concetti, che hanno "un significato concettuale in un sistema di importanti concetti comuni che non sono matematici, come la variazione, l'accelerazione, la ricorrenza e l'autoregolazione. Essi non sono semplici numeri: sono aritmetizzazioni di concetti. Quando vengono inseriti in una formula, questa incorpora le idee espresse dalla funzione, come l'insieme delle coppie di numeri complessi che determina matematicamente in virtù di tali idee. Poiché l'aritmetizzazione funziona tramite le metafore concettuali, se si comprendono le metafore di aritmetizzazione, le inferenze concettuali vengono espresse in termini aritmetici." (cit.)

Quindi, i numeri e l'infinito sono "umani, troppo umani" e rappresentano la simbolizzazione matematica dei nostri interessi e delle nostre esperienze, né più né meno del linguaggio ordinario con il quale condividono la natura squisitamente embodied basata, secondo i nostri, sulle metafore e sulle miscele concettuali.

Con buona pace, o almeno così mi sentirei di dire, dei platonici che pensano che la matematica sia già scritta in una realtà iperuranica e che gli esseri umani la scoprano man mano con la loro mente.

Quello che abbiamo chiamato il romanzo della matematica è bene, pertanto, che sia considerato non più un teatro platonico, ma una fabbrica di concetti fondati nell'esperienza e nella sua concettualizzazione metaforica del tutto umana.

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Riferimenti :
Su Wikipedia : http://it.wikipedia.org/wiki/Da_dove_viene_la_matematica