L'infinito tra metafisica e scienza (3ª Parte)

Credit: Christian Wery

Dopo aver trattato brevemente l'infinito in termini di concetti filosofici e di funzioni scientifiche, è interessante averne una visione secondo una interessante ipotesi cognitiva, in base alla prospettiva della "embodied cognition", formulata da George Lakoff e Rafael E. Nunez con il loro libro "Da dove viene la matematica. Come la mente embodied dà origine alla matematica" (2005).
Prima di parlare dell'ipotesi di lavoro - perchè è di questo che si tratta - di Lakoff e Nunez, occorre precisare che la prospettiva della cognizione incorporata (embodied cognition) è quella, se vogliamo anche molto semplice se non banale (ma non troppo se occorre spesso precisarlo), che qualsiasi produzione linguistica e simbolica dell'essere umano deriva dal suo "essere corpo immerso in un ambiente" e che quindi la capacità astrattiva del nostro pensiero non può che derivare dalla nostra esperienza quotidiana di tipo relazionale e, evidentemente, dalle capacità biologiche di questo nostro "corpo immerso nel mondo" (in co-appartenenza e co-evoluzione con esso), tra cui in particolare quelle offerte dal cervello.
Dunque, partendo dal presupposto che il linguaggio è una qualità e capacità emergente dell'essere umano e che ha una necessaria origine biologica derivante dall'accoppiamento strutturale mente-mondo, l' "ipotesi forte" - per così dire - di Lakoff e Nunez è quella di attribuire alla metafora concettuale un posto di primo piano nel rendere possibile la concettualizzazione astratta del nostro pensiero assieme ad altri importanti meccanismi che sono stati individuati dai nostri autori in: a. schemi immagine, b. schemi aspettuali, c. miscele concettuali.
Quello che occorre avere presente in questo modello cognitivo, a mio parere interessante, è che non asserisce alcuna "verità incontrovertibile" e non si propone alcuna dimostrazione necessaria di tipo "matematico", trattandosi di un metodo empirico di affrontare i meccanismi cognitivi che presiederebbero al nostro pensiero e al nostro linguaggio, in questo caso quello matematico.
Pertanto, sarebbe ingenuo da parte dei critici formulare facili obiezioni identificando nella teoria della embodied mind una sorta di "teoria del tutto" della mente contro-argomentando che non ci sono prove evidenti dei meccanismi neurali che sarebbero alla base del pensiero astratto matematico e non, come se fosse possibile oggi o in futuro disporre di una sorta di "macchina leggi pensieri" in grado di poter dimostrare la "vera natura del pensiero" rispondendo con certezza alla domanda "che cosa è il pensiero?" e magari decifrando nel dettaglio  in base ai dati del "brain imaging" cosa stiamo pensando anche se non ne siamo consapevoli o magari trovare i "correlati neurali" che sono alla base dell'invenzione di una nuova teoria matematica rivoluzionaria.
Questa precisione sperimentale da "hard science" non è applicabile tout court alle neuroscienze cognitive vista la estrema complessità della mente e, avendo letto il libro di LN (Lakoff-Nunez) per intero, posso affermare che non è affatto nelle loro intenzioni asserire che il loro modello sia quello "vero", ma come ogni modello si propone, con argomentazioni che partono da premesse essenziali - accettabili o meno -, di descrivere il funzionamento di un processo osservabile (le teorie matematiche e le logiche simboliche, modali ecc. sono osservabili in quanto linguaggio).
D'altro canto, la stessa matematica parte da assiomi e, senza voler scomodare troppo Goedel, sappiamo che essa è un "sistema necessariamente aperto" in quanto non ci sono sistemi completi e decidibili in sé, ma ogni sistema apre ad un livello "meta" che lo può incorporare, ma che a sua volta è incompleto, e così via ... all'infinito...

Credit: "Destiny" di Nubret Pascale

Alla luce di quanto precede, la mia trattazione del modello LN dell'infinito matematico e della sua origine embodied è da intendersi nel fatto che ritengo la loro focalizzazione sulla metafora una prospettiva molto interessante e feconda, che ovviamente non esaurisce la complessità della mente e dei linguaggi che essa produce.
Andiamo a dare una definizione veloce e sintetica dei concetti principali del modello LN :

1. Schemi immagine: identificano le relazioni spaziali e ce ne sarebbero di 3 tipi primitivi: lo schema Sopra, quello Contatto e quello Sostegno.
Lo schema Sopra è orientativo, quello Contatto è di tipo topologico, mentre lo schema Sostegno è dinamico in relazione ad una forza.
Tra gli schemi immagine ce n'è uno molto importante ed è lo schema Contenitore, che possiede 3 parti: un Interno, un Confine e un Esterno.
E', poi, importante distinguere tra Figura e Sfondo, dove lo sfondo è detto in linguistica cognitiva Riferimento (nella frase "l'auto è nel garage" il garage è lo sfondo) e la figura (l'auto) è detta Tracciatore.
Nel modello LN gli schemi immagine hanno una "doppia natura", ossia sono sia percettivi che concettuali, consentendo quindi di fare da ponte tra la visione e il linguaggio-ragionamento.

2. Schema Aspetto: evidenziato dagli studi di Srini Narayanan, che ha mostrato una correlazione fra i nostri sistemi neurali di controllo motorio ed il pensiero matematico, riscontrando la seguente sovrastruttura: a. prontezza, b. inizio, c. il processo principale, d. possibile interruzione e ripresa, e. iterazione o continuazione, f. scopo, g. completamento, h. stato finale.
E' importante dire che questo processo non è "algoritmico-computazionale" in senso classico, ma complesso e sensibile al contesto ed alle risorse, oltre che può essere concomitante ad altri processi ed alle relative informazioni.

Come dicono LN: "Narayanan ha osservato che questo schema generale di controllo motorio ha la stessa struttura di ciò che i linguisti chiamano aspetto, ossia il modo generale di strutturare gli eventi. Qualunque cosa noi percepiamo o pensiamo, sia come un'azione o come un evento, viene concettualizzata tramite questa struttura. In generale noi ragioniamo sugli eventi e sulle azioni usando tale struttura e le lingue del nostro pianeta hanno tutte quante i mezzi, nelle loro grammatiche, per codificare tale struttura. Ciò che ci dice il lavoro di Narayanan è che la stessa struttura neurale impiegata nel controllo di schemi motori complessi può anche essere usata per ragionare sugli eventi e sulle azioni".

LN chiamano questa struttura Schema Aspetto, assumendo quindi che "i sistemi neurali di controllo dei movimenti del corpo hanno le stesse caratteristiche necessarie per l'inferenza razionale nel dominio dell'aspetto, ossia la struttura degli eventi".
LN, inoltre, identificano 2 strutture aspettuali riferite ai verbi: l'aspetto imperfettivo, che si focalizza sulla struttura interna del processo principale (es. verbi come "vivere", "respirare", "morire") e l'aspetto perfettivo che "concettualizza l'evento come un tutt'uno senza guardare alla struttura interna del processo, ma focalizzandosi sul completamento dell'azione", laddove il completamento può essere interno (es. saltare e atterrare) o esterno al processo (es. volare e atterrare per un uccello) e "ciò non ha nulla a che vedere con il funzionamento del mondo reale, ma con il modo in cui noi lo concettualizziamo e lo strutturiamo attraverso il linguaggio".

A tal proposito, LN asseriscono che: "Le idee aspettuali ricorrono in tutta la matematica. Una rotazione di un certo numeri di gradi, per esempio, è concettualizzata come un processo con un punto iniziale e un punto finale. La nozione originale di continuità di una funzione era concettualizzata in termini di processo continuo di moto, ossia un processo senza punti finali intermedi. L'idea stessa di processo algoritmico di calcolo coinvolge un punto iniziale, un processo che può essere oppure no iterativo e un completamento ben definito (...). Tutte le nozioni di infinito ed infinitesimo usano concetti aspettuali".

3. Schema Sorgente-Percorso-Obiettivo: è lo schema immagine principale che ha a che fare con il moto. Esso è formato dai seguenti elementi o ruoli: a. un tracciatore che si muove, b. una posizione per la sorgente (punto di partenza), c. un obiettivo (la destinazione fissata per il tracciatore), d. un percorso dalla sorgente all'obiettivo, e. la traiettoria reale del moto, f. la posizione del tracciatore in un dato istante, g. la direzione della traiettoria in quell'istante, h. la posizione finale del tracciatore, che può essere o no quella fissata.
Si tratta di uno schema topologico. Tale schema, dicono LN, "è onnipresente nel pensiero matematico. La nozione stessa di grafo orientato, p.e., è un caso dello schema Sorgente-Percorso-Obiettivo. Le funzioni nel piano cartesiano sono spesso concettualizzate in termini di moto lungo un percorso, come quando una funzione viene descritta con le parole 'sale', 'raggiunge' un massimo, e 'scende' di nuovo. Una delle funzioni più importanti dello schema SPO nel linguaggio naturale è ciò che Len Talmy ha chiamato moto fittizio. In una forma di moto fittizio, una linea è pensata in termini di moto che traccia quella linea, come nella frase 'La strada corre lungo il bosco' o 'Lo steccato sale sulla collina'. In matematica ciò accade quando pensiamo a due linee che 'si incontrano in un punto' o al grafico di una funzione che 'raggiunge un minimo in zero'."

4. Composizione concettuale: è la possibilità per gli schemi immagine di combinarsi in modo complesso. LN in proposito fanno l'esempio dello Schema Dentro A (schema dentro e schema A), dove:
a. Schema Dentro: è "uno schema Contenitore con l'Interno delineato e preso come Riferimento";
b. Schema A: uno "schema Sorgente-Percorso-Obiettivo, con l'Obiettivo delineato e preso come Riferimento;
c. Corrispondenze: Interno-Obiettivo e Esterno-Sorgente;

e poi dello Schema Fuori Da, dove troviamo:

a. Schema Fuori: uno schema Contenitore, con l'Esterno delineato e preso come Riferimento;
b. Schema Da: uno schema SPO, con la sorgente delineata e presa come Riferimento;
c. Corrispondenze: Interno-Sorgente e Esterno-Obiettivo.

5. Metafora concettuale: "è un processo centrale nel pensiero quotidiano. La metafora non è un mero abbellimento: essa è lo strumento basilare che rende possibile il pensiero astratto. Uno dei principali risultati della scienza cognitiva è che i concetti astratti sono compresi tipicamente in termini di concetti più concreti, attraverso le metafore. Questo fenomeno è studiato scientificamente da più di due decadi ed è oggi generalmente ben fondato, come qualunque altro nella scienza cognitiva (sebbene i dettagli particolari d'analisi siano ancora aperti per ulteriori ricerche). Uno dei risultati principali è che le mappe metaforiche sono sistematiche e non arbitrarie".

Credit: Katherine Blackwell

La metafora per LN è, quindi, una struttura concettuale. 
LN fanno l'esempio degli affetti emotivi in frasi come "Lei si scaldava nei miei confronti" oppure "Mi lanciò uno sguardo glaciale" per mostrare come le percezioni caldo-freddo vengano usate per descrivere i sentimenti, oppure come l'importanza sia espressa in termini di grandezza in "questa è una grande questione", "è un gigante del business", la somiglianza è concettualizzata in termini di vicinanza fisica in "le nostre opinioni sono distanti anni luce", "abbiamo gusti vicini", le difficoltà sono concettualizzate come "fardelli" come in "sono stato scaricato dalle responsabilità" e la struttura organizzativa è concettualizzata come struttura fisica come in "la teoria è piena di buchi", "è un progetto solido" ecc..

Le metafore concettuali, come detto anche nella serie di articoli sul pensiero metaforico in politica, sono "usate inconsciamente, senza sforzo e automaticamente nel dialogo quotidiano: sono parte dell'inconscio cognitivo. Molte di esse sorgono spontaneamente dalle correlazioni nella nostra esperienza comune, soprattutto nella nostra esperienza di bambini."

LN aggiungono poi che :"le correlazioni (delle metafore) all'esperienza sono casi particolari del fenomeno della fusione. La fusione è parte della conoscenza embodied: essa consiste nell'attivazione simultanea di due aree distinte del nostro cervello, ciascuna relativa a diversi aspetti della nostra esperienza, come l'esperienza fisica del calore e l'esperienza emozionale dell'emotività. In una fusione, i due tipi di esperienza avvengono in modo inseparabile. L'attivazione di due o più parti del cervello dà origine ad una singola esperienza complessa, ossia un'esperienza di affetto-con-calore, diciamo, o un'esperienza di difficoltà-con-un-fardello-fisico. E' per mezzo di tali fusioni che vengono sviluppati i contatti neurali tra domini, contatti che spesso sfociano in una metafora concettuale, in cui un dominio è concettualizzato in termini dell'altro."

Le metafore si strutturano all'interno di mappe concettuali metaforiche, che sono formate da domini sorgente e domini obiettivo collegati da una struttura inferenziale che consente di associare ad una sorgente concreta (es. spazio fisico) un obiettivo astratto (es. stato d'animo) come nella metafora concettuale "Gli stati d'animo sono posizioni" (es. "sono al limite della rabbia").

Secondo LN : "gran parte del nostro ragionamento astratto quotidiano viene generato tramite mappe metaforiche fra domini. Per la verità, molto di ciò che viene spesso detta inferenza logica è in realtà inferenza spaziale, proiettata su un dominio logico astratto."

In particolare, si comprende la posizione di LN quando dicono che "sosterremo che la metafora concettuale è il meccanismo cognitivo  cruciale dell'estensione dell'aritmetica di base ad applicazioni sofisticate dei numeri. Inoltre, sosterremo che una comprensione sofisticata dell'aritmetica stessa richiede metafore concettuali che fanno uso di domini sorgenti matematici non numerici (p.e. la geometria e la teoria degli insiemi). Sosterremo ancora che la metafora concettuale è anche il meccanismo cognitivo principale nel tentativo di fornire alla matematica i fondamenti teorico-insiemistici e nella comprensione della stessa teoria degli insiemi. Infine, dovrebbe diventare chiaro che gran parte dell'astrazione della matematica più specialistica sia una conseguenza della stratificazione sistematica di una metafora sull'altra, spesso nel corso di secoli. Ogni strato metaforico, come vedremo, porta una struttura inferenziale sistematicamente da domini sorgente a domini obiettivo, struttura sistematica che viene persa nei vari strati, a meno che sia rivelata da un'analisi metaforica dettagliata. Buona parte di questo libro è dedicata a tale scomposizione metaforica dei concetti matematici sofisticati. Poiché questo genere di studi non è stato mai effettuato prima d'ora, non saremo in grado di fornire una base di evidenze sperimentali così estesa come quella costruita in decenni di studi sulle metafore concettuali nel linguaggio e nel pensiero quotidiani. Per tale ragione, ci limiteremo nel nostro studio a casi che sono relativamente chiari, casi cioè, in cui sia netta la distinzione fra dominio sorgente e dominio obiettivo, dove le corrispondenze tra i domini siano state efficacemente stabilite e dove le strutture inferenziali siano ovvie."

6. Miscele concettuali: è la combinazione di due strutture cognitive distinte, con determinate corrispondenze tra di esse. "Nella matematica il cerchio di raggio unitario ne costituisce un esempio semplice: viene sovrapposto un cerchio al piano cartesiano, fissando le seguenti corrispondenze: a. il centro del cerchio è l'origine (0,0) e b. il raggio del cerchio è 1. Questa miscela ha conseguenze che seguono da queste corrispondenze, insieme con la struttura inferenziale di entrambi i domini. Per esempio, il cerchio unitario interseca l'asse x in (1,0) e in (-1,0) e interseca l'asse y in (0,1) e (0, -1). Il risultato è più di un semplice cerchio che ha una posizione fissa nel piano e la cui circonferenza è una lunghezza commisurabile ai numeri sugli assi x e y. Un cerchio nel piano euclideo, dove non ci sono assi né numeri, non avrebbe queste proprietà. Quando le corrispondenze fissate in una miscela concettuale sono date da una metafora, noi la chiameremo Miscela Metaforica. Un esempio che discuteremo in modo esteso più avanti è la Miscela Numeri-Retta, che utilizza le corrispondenze stabilite dalla metafora I NUMERI SONO PUNTI SU UNA RETTA. Nella miscela vengono create nuove entità, ossia i Punti-Numero, entità che sono contemporaneamente numeri e punti su una retta. Le miscele, metaforiche e non metaforiche, sono pervasive della matematica".

7. Simbolizzazione: dicono LN che "comprendere un simbolo matematico significa associarlo ad un concetto, a qualcosa di significativo della conoscenza umana, fondato in ultimo sull'esperienza e creato attraverso meccanismi neurali".

Fonte: Identità di Eulero

La cosa importante è che secondo LN:

"il significato dei simboli matematici non è nei soli simboli e nelle loro manipolazioni tramite regole; e nemmeno nell'interpretazione dei simboli in termini di modelli insiemistici, che sono essi stessi non interpretati. In ultimo, il significato matematico è come il significato quotidiano: è parte della conoscenza embodied. Questo fatto ha delle conseguenze importanti per l'insegnamento della matematica: non è sufficiente l'apprendimento automatico e ripetitivo, in quanto esclude la comprensione. Analogamente, non è sufficiente derivare assiomi formali attraverso regole puramente formali della dimostrazione, in quanto anche ciò può escludere la comprensione. Il punto non è essere in grado di dimostrare che e elevato a pi-greco moltiplicato i (numero immaginario) è uguale a -1, ma piuttosto di essere in grado di dimostrarlo sapendo cosa significa 'e elevato a pi-greco moltiplicato i' e sapendo perché è uguale a -1, sulla base di cosa significa e elevato a pi-greco moltiplicato i e non semplicemente sulla base della dimostrazione formale. In breve, ciò che viene richiesto è un'adeguata analisi delle idee matematiche, per mostrare perchè e elevato a pi-greco moltiplicato i è uguale a -1, data la nostra comprensione delle idee coinvolte".

Capiamo come dunque l'obiettivo di LN sia ambizioso e forse anche "troppo ambizioso" (c'è un tono a volte troppo sicuro, ma glielo perdoniamo identificandolo come "segno di entusiasmo" e passione per la ricerca), ma contenga però una prospettiva davvero stimolante, ossia quella di poter descrivere il pensiero astratto in termini di meccanismi metaforici neurali e quindi linguistici derivanti dall'esperienza quotidiana, delineando quindi uno strettissimo rapporto fra percezione e astrazione, come per altro gli studi sui neuroni specchio hanno messo in luce negli ultimi anni.

Vista una certa prolissità dell'introduzione, vedremo nel prossimo post come attraverso la Metafora Base dell'Infinito (BMI, in breve), che è l'argomento che ci interessa, si può spiegare in maniera non esaustiva, ma molto feconda, come anche il concetto matematico di infinito sia radicato nella mente embodied e derivi dall'accoppiamento mente-mondo senza dover fare alcun riferimento a una "matematica astratta" di tipo platonico che pre-esisterebbe al pensiero umano e al mondo in cui esso è immerso, platonismo che è inquadrabile in quello che Lakoff chiama IL ROMANZO DELLA MATEMATICA, che come tutti i romanzi ideali è bene che venga riportato nella Terra dove siamo gettati da sempre.